นัยสำคัญ ทางสถิติ

ในการแจงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นแบบสุ่ม อย่างในกรณีการแจงความน่าจะเป็นของข้อสอบ Multiple choice จะมีการเรียนการสอนอยู่ในประมาณชั้น ม. ต้น วันนี้เราจะมาทบทวนการใช้หลักการแจงความน่าจะเป็น เพื่อนำมาเทียบกับเหตุการณ์ต่างๆ รอบตัวเราในชีวิตประจำวันกัน

ในกรณีคำถาม 4 ตัวเลือก โอกาสตอบถูก จะมีอยู่ 0.25 และ ตอบผิด คือ 0.75 อันนี้ เรารู้กันอยู่ว่า การมั่วคำตอบสัก 4 ข้อ ค่าเฉลี่ยของคะแนน มันก็ควรอยู่ที่ 1 คะแนน

แต่ถามว่าโอกาสที่มันจะได้คะแนนต่างจากนั้นมันมีอยู่ไหม มันก็มีอยู่ มันมีความน่าจะเป็นที่จะมั่วถูกได้ 4 ข้อ โดยความน่าจะเป็นนั้นจะอยู่ที่ 0.25⁴  หรือ 0.004 (0.4%) ส่วนความน่าจะเป็นที่ลดหลั่นไปเราใช้สูตรการแจงความน่าจะเป็นแบบ ทวินาม อันนี้ ผมก็ไม่ค่อยแม่นเรื่องการอธิบายสักเท่าไรแฮะ เพราะเรียนมานานมากแล้ว แต่ดังนั้น ผมยกตัวอย่างการใช้สูตรให้ดูเลยดีกว่า

ตัวอย่างการใช้สูตรแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม (Binomial Distribution) 

P =  [ⁿC_x].R^x.W^n-x

เมื่อ

•  P = โอกาสความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนน x คะแนน
• ⁿC_x = สัมประสิทธิ์การแจงทวินามของการตอบได้ถูก x ข้อ จากจำนวนคำตอบ n คำตอบ
• ⁿC_x จะเท่ากับ = n!/x!(n-x)!
• R = ความน่าจะเป็นที่จะตอบถูก
• W = ความน่าจะเป็นที่จะตอบผิด = 1-R
• n = จำนวนข้อสอบทั้งหมด
• x = จำนวนคำตอบที่ตอบได้ถูก

 ความน่าจะเป็นของการตอบข้อสอบ 4 ข้อ ได้ผิดหมด ถึงได้คะแนนเต็มจะเป็นดังตารางต่อไปนี้

จากตาราง ข้างบน เราบอกได้ว่า ในการกาข้อสอบมั่ว 4 ตัวเลือก 4 ข้อ เรามีความเป็นไปได้ที่จะได้ 0 คะแนน 31.6% โอกาสได้ 1 คะแนน 42.2% โอกาสได้ 2 คะแนน คือ 21.1% โอกาสได้ 3 คะแนนคือ 4.7% และมีโอกาสได้คะแนนเต็ม 0.4%

ในเชิงสถิติ โอกาสน้อยแค่ไหนมันก็เกิดขึ้นได้ แต่เราจะบ่งชี้ว่าอะไร เป็นแค่การมั่ว หรือ รู้จริง ใช้งานได้จริง เราดูที่ระดับ นัยสำคัญ นัยสำคัญทางสถิติที่มักใช้เป็นมาตรฐานคือ 95% อย่างโจทย์คำตอบ 4 ตัวเลือก 4 ข้อ ถ้าคะแนนเราทำได้ 3 ใน 4 ข้ออันนี้ เราทำได้เหนือกว่าช่วงความน่าจะเป็นของการได้ 0 – 2 คะแนนซึ่งเป็นความมั่นใจ 94.9% ว่าที่ตอบได้นี่ไม่มั่ว ความมั่นใจตรงนี้ต่ำกว่า 95% แปลว่ายังไม่เป็นนัยสำคัญ แต่ถ้าตอบได้ 4 ข้อ อันนี้ เราทำได้เหนือกว่าความความน่าจะเป็นรวมของการตอบได้ 0-3 ข้อคือ 99.6% ความมั่นใจว่าเราไม่มั่ว ตรงนี้ สูงกว่า 95% ก็คือมันเป็นนัยสำคัญ 

หลักการวิเคราะห์ของบทความนี้ก็จะประมาณตามข้างต้น ทีนี้ เรามาดูกันว่าความรู้นี้เราสามารถนำมาใช้ประโยชน์อะไรได้บ้าง

ความน่าจะเป็น ที่ GT200 จะมั่วชี้เป้าได้

สำหรับโจทย์ GT200 ตอนที่ อ. เจษฏา เข้าไปทำการทดสอบ มันคือโจทย์คำถามปรนัย 4 ตัวเลือก เมื่อเราคำนวณความน่าจะเป็นของการสุ่มที่จะตอบได้แต่ละจำนวนคะแนน แล้วจัดทำกราฟ เราจะพบว่า อัตราความมั่นใจ 95% อยู่ที่การตอบได้ถูก 8 ข้อขึ้นไป และจึงจะสรุปได้ว่า GT200 ใช้การได้

ความน่าจะเป็น ที่ ดร. นาซ่า คนเก่ง จะทำนายแผ่นดินไหวได้จริง

ดร. นาซ่าท่านหนึ่งได้กล่าวว่า เมื่อพายุสุริยะมา จะเกิดแผ่นดินไหว แล้วก็อ้างการเกิดแผ่นดินไหวขนาด 6 ริกเตอร์ ในโลกภายในช่วง 5 วันนับตั้งแต่การเกิดพายุสุริยะว่า เป็นผลมาจากพายุสุริยะ 

ในเชิงสถิติ บันทึกโอกาสการเกิดแผ่นดินไหวเกิน 6 ริกเตอร์ ในที่ใดๆในโลก อ้างจากเวบ USGS จะสูงถึง 41% ในแต่ละวัน นั่นคือ สมมุติว่าทำนายการเกิดแผ่นดินไหววันไหน แล้วเกิดได้จริงตามนั้นในวันนั้น ก็ต้องทำนายได้ถูกเกิน 6 จาก 10 ครั้ง ขึ้นไปจึงจะเชื่อได้ว่าไม่มั่ว ส่วนถ้าจะทำนายแบบเหมาโหล พายุสิริยะมาแล้วแผ่นดินไหวเกิน 6 ริกเตอร์ภายใน 5 วัน จะต้องเกิดจากพายุสุริยะแน่ๆ การทำนายลักษณะนี้ ต้องทายถูก 97 ใน 100 ครั้งจึงจะเชื่อได้ว่าไม่มั่ว

ความน่าจะเป็นของการทายไพ่ทายนิ้ว

โจทย์ตรงนี้ ปรับมาจากกรณี PMC ปิดตาลอดช่อง ถ้าเราพูดถึงการทายไพ่ ไพ่ 1 สำรับไม่นับโจ๊ก โอกาสทายถูกแต่ละใบมีเพียง 1 ใน 52 ดังนั้น ทายได้ 1 ใน 10 ครั้ง ก็ถือว่า ทายได้ถูกเป็นอัศจรรย์อย่างมีนัยสำคัญ (แต่แน่นอน มันมองลอดช่องมันก็ถูกได้มากกว่ามั่ว)

แต่ถ้าเป็นกรณีการให้ทายนิ้วที่ซ่อนอยู่ข้างหลัง มือคนเราแสดงตัวเลขได้คือ 0 – 5 ความน่าจะเป็นที่จะมั่วถูกคือ 1 ใน 6 การทายได้ถูก 3 ใน 10 ครั้งขึ้นไป จึงจะถือว่า ทายได้ถูกเป็นอัศจรรย์

จากเรื่องลวงโลก เรามาดูเรื่องหวยกันมั่ง กับการล็อกหวย

หวย จะล็อกไม่ล็อกเรามักอ้างกันว่า โหย เลขมีตั้ง 1 -100 การออกเลขซ้ำเลขเบิ้ล มันเป็นไปไม่ดั้ย มันต้องล็อก เรื่องเพี้ยนๆตรงนี้ แม้แต่ อ. ทางคณิตศาสตร์ ของ ม. ทำมั้ยสาด บางท่าน ยังคำนวณผิดเบย เชื่อหรือไม่ว่า หวย 100 งวด ความน่าจะเป็นที่เลขใดๆจะไม่ออกนั้นมีสูงถึง 36.6% และมีโอกาสออกเลขเบิ้ลถึง 18.5%  

ความสอดคล้องตรงนี้ เราสามารถเอาการกระจายตัวของความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นจริง ตามข้อมูลของสำนักงานสลากกินแบ่งรัฐบาล กับตามทฤษฏีมาพล็อตหาเป็น Correlation แล้วทดสอบหาค่าความสัมพันธ์หรือ R2 ซึ่งเราก็พอจะบอกได้ว่าข้อมูลจริงกับทฤษฏี มีความสอดคล้องกันถึง 98.5%  ... มันก็อาจบอกว่า การกระจายตัวของหวย มันเป็นไปตามทฤษฏีอย่างเป็นนัยสำคัญ และมันก็คงไม่ได้ล็อค แค่ เรามันซวย โดยหวยรับประทานชะเอิงเงย