การศึกษาทางคณิตศาสตร์??:เมื่อซอมบี้ครองเมือง!?!?

 “ซอมบี้” เป็นหนึ่งในสิ่งที่ถูกนำมาใช้กล่าวขานถึงเป็นหนังเป็นนิยายในวัฒนธรรมปัจจุบันอย่างมากมาย ในชั้นเริ่มต้น ซอมบี้ ตามแบบของศาสนา ”วูดู” จะเป็นการคืนชืพศพขึ้นมาใช้งานโดยเวทมนตร์หมอผีวูดู ในหนังของ ฮอลลีวู้ด ซอมบี้ถูกเปลี่ยนให้เป็นศพคืนชีพและกระหายเลือด โดยเพิ่มสมบัติในการติดต่อขึ้นไป จนกระทั่งมาในชั้นหลังของ Biohazard หรือ Resident Evil ที่ซอมบี้ถูกเปลี่ยนจากสิ่งที่คืนชีพโดยเวทมนตร์เป็นสิ่งที่เกิดจากการกระทำของเชื้อไวรัสที่คิดค้นขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ ติดต่อได้ หนังซอมบี้ มักจะมี Theme การล้อเลียนสังคม-การเมือง ซ่อนอยู่เป็นเสน่ห์ของมัน โดยมักจะมีการแอบตีแผ่ลัทธิทุนนิยม ตีแผ่ความเห็นแก่ตัว และการกระทำบ้องตื้นของเหล่านักเคลื่อนไหวทางศาสนา นักสิทธิมนุษยชน รวมถึงนักวิทยาศาสตร์หยาบช้าต่างๆ และเพราะความดังของมัน ในความสนใจของสังคม ก็ถึงกับมีบทความวิจัยเป็นจริงเป็นจัง โดย Philip Munz, Ioan Hudea, Joe Imad และ Robert J. Smith ออกมาวิเคราะห์ถึงความเป็นไปได้ในการอยู่รอดและจัดการกับสถานการณ์ซอมบี้ครองเมืองด้วยโมเดลทางคณิตศาสตร์ ในบทความ WHEN ZOMBIES ATTACK!: MATHEMATICAL MODELLINGOF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION ซึ่งเราก็มาดูกันดีกว่า ว่า ในมุมมองทางคณิตศาสตร์ การเกิด Zombie Apocalypse มันจะเป็นอย่างไร และมนุษย์เราจะรอดจากมันได้อย่างไรกัน

ลูบปลากรอบที่ 1: ซอมบี้ครองเมือง (ภาพจิ๊กมาจาก http://www.marklobo.com.au/)

การตั้งสมมุติฐานโมเดลทางคณิตศาสตร์

ในโมเดลทางคณิตศาสตร์ของ Philip Munz และคณะ ในตรงนี้ จะเป็นโมเดลซอมบี้แบบหนังซอมบี้ฮอลลีวู้ดนิยมทั่วไป ซึ่งจะมีลักษณะคือ เคลื่อนที่ช้า ไร้สมอง กระหายเลือด และติดต่อได้ ในที่นี้จะไม่รวมซอมบี้แบบในหนังเรื่อง 28 days ที่โหดสาดดด ไป แต่ยังรวมความเป็นไปได้ของซอมบี้ที่เกิดจากมนตร์ดำ หรืออื่นๆอะไรก็ไม่รู้แต่ดันผุดขึ้นมาอย่าง Shaun of the dead ประมาณนี้อยู่ โดยสรุปเป็นข้อๆก็คือ

1. มนุษย์ (S) มีการเกิด (P) และตายตามธรรมชาติ  (d)
2. คนที่ตายเป็นศพ (R) อาจคงตายอยู่อย่างนั้นหรือกลายเป็น Zombie (Z) ตามปัจจัยความเสี่ยง (z)
3. การติดเชื้อ หรือติดคำสาปเป็น Zombie (Z) มนุษย์จะต้องสัมผัสกับซอมบี้นานพอจะติดเชื้อด้วยค่าความเป็นไปได้ (b)
4. การตายของซอมบี้ เกิดจากการโดนกุดหัว หรือยิงสมอง ซึ่งก็คืออัตราการที่มนุษย์จะสู้ชนะซอมบี้ได้ (a)

ลูบปลากรอบที่ 2:  การเตรียมพร้อมของมนุษย์เพื่อสู้กับซอมบี้

การแปลงสมมุติฐานเป็นสมการ

ในที่นี้ โมเดลคำนวณทางคณิตศาสตร์เขียนออกมาได้ดังต่อไปนี้ เรียกว่า โมเดล SZR

S’ = P – bSZ-dS                                            (1)
Z’ = bSZ + zR –aSZ                           (2)
R’ =dS+aSZ-zR                                  (3)

• สมการแรก อ่านว่า อัตราการเพิ่มของประชากร ณ เวลาใดๆ คือ อัตราเกิด ลบ อัตราที่มนุษย์กลายเป็นซอมบี้ (bSZ แทน f(S,Z)) ลบด้วยอัตราการตายตามธรรมชาติของมนุษย์
• สมการที่สอง อ่านว่า อัตราการเพิ่มของซอมบี้ เท่ากับ อัตราที่มนุษย์กลายเป็นซอมบี้ บวกกับอัตราที่ศพฟื้นมาเป็นซอมบี้ ลบ อัตราที่มนุษย์จะชนะ ฆ่าซอมบี้ได้
• สมการที่สาม อ่านว่า อัตราการเกิดศพ เกิดจาก อัตราตายตามธรรมชาติของมนุษย์ รวมกับอัตราที่มนุษย์จะชนะ ฆ่าซอมบี้ได้ ลบอัตราที่ศพฟื้นมาเป็นซอมบี้

ลูบปลากรอบที่ 3:  โมเดล สมการ SZR

จุดสมดุลของการที่มนุษย์จะอยู่รอดได้

ถ้าการเกิด Outbreak เกิดในเวลาสั้น เราอาจถือว่าอัตราการเพิ่มประชากร P และ อัตราการตายตามธรรมชาติ d เล็กน้อยจนไม่เป็นนัยสำคัญ หรือ P = d = 0 differential equation ในสภาพสมดุล หรือ S’, Z’, R’ = 0 จะอยู่ในรูปนี้

S’ =  – bSZ = 0
Z’ = bSZ + zR –aSZ = 0
R’ =aSZ-zR = 0

ข้อสังเกตก็คือ เพื่อให้อัตราการเปลี่ยนแปลงของประชากร มนุษย์ – ซอมบี้ และ ศพ อยู่ในสภาพคงที่สมดุล เป็น Equilibrium ถ้าไม่ใช่คน ตายหมด (S=0) ก็ต้องเป็น ซอมบี้ตายหมด (Z=0) ถึงจะเกิดสภาพสมดุลขึ้นมาได้ และถ้า S = 0 นั่นคือสมดุลแบบวันโลกาวินาศ บทข้อสรุปตามสมการคือ ไม่มีความเป็นไปได้ที่มนุษย์จะอยู่ร่วมกับซอมบี้อย่างเด็ดขาด

ลูบปลากรอบที่ 4:  การอยู่ร่วมกันของมนุษย์ vs ซอมบี้!?!?

โอกาสอยู่รอดของ มนุษย์ vs ซอมบี้

ในรายละเอียด ของการพบกันระหว่างซอมบี้กับมนุษย์ เราให้จำนวน N แทนค่าคนที่ยังไม่ติดเชื้อและสามารถกลายเป็นซอมบี้ได้ ตรงนี้

• โอกาสที่มนุษย์จะพบเจอกับซอมบี้นานพอจะทำให้เกิดการติดเชื้อ คือ bN และอัตราความน่าจะเป็นทีมนุษย์ที่จะติดเชื้อได้จะเจอกับซอมบี้คือ S/N ดังนั้น bN.S/N.Z จึงออกมาเป็น bSZ
• ในทางกลับกัน โอกาสที่มนุษย์จะเอาชนะซอมบี้ได้ ก็จะอยู่ในรูป aN.S/N.Z = aSZ เช่นกัน

เมื่อนำสมการทั้งสาม มาเขียนในรูป Jacobean Matrix S, Z, R เราจะได้ผลลัพธ์ของ Characteristic equation ติดอยู่ในรูป Polynomial ซึ่ง นั่นจะทำให้ความเป็นไปได้ที่จะเกิดสภาพที่ Zombie เป็นศูนย์นั้น ไม่เสถียร

ลูบปลากรอบที่ 5:  การหา Characteristic Equation ของกรณีที่มนุษย์จะเป็นฝ่ายชนะ

*สำหรับการวิเคราะห์ค่า Eigenvalue ถ้า Eigenvalue ของ Characteristic Equation เป็นลบ สมการจะไม่ Converge นั่นคือไม่เกิดการเบนเข้าหาค่าใดค่าหนึ่ง และไม่เสถียร แต่ถ้าหากว่า มีค่าเป็นบวก นั่นคือ สมการนั้นจะ Converge และ เสถียร ในกรณีข้างบน เพราะ eigenvalue มีค่ายกกำลัง ตอนแก้สมการออกมา มันจะต้องมี eigenvalue ที่เป็นบวกอย่างแน่นอน [อ่านรายละเอียด]

ลูบปลากรอบที่ 6:  อธิบายพฤติกรรมของสมการเมื่อค่า eigenvalue มีค่าต่างๆ

แต่ในทางกลับกัน ถ้าเราให้ซอมบี้ชนะ และมนุษย์ N เป็นศูนย์ เราพบว่าผลลัพธ์ของ Eigenvalue เป็นลบทั้งหมด และนั่นทำให้มันมุ่งเข้าสู่สภาพความเสถียรโดยแทบไม่ต้องทำอะไร หรืออาจสรุปได้ว่าถ้าเกิดการแพร่ของ Zombie ในช่วงเวลาสั้น ความน่าจะเป็นคือมนุษย์จะสูญพันธุ์ทั้งหมด

ลูบปลากรอบที่ 7:  การหา Characteristic Equation ของกรณีที่ซอมบี้จะเป็นฝ่ายชนะ  โดยให้ค่า a = 0.005, b = 0.0095, g = 0.0001 และ d = 0.0001.

โมเดล หน่วงการติดเชื้อ

การติดเชื้อในหนังซอมบี้ มักจะไม่ใช่ทันทีทันใด (เว้น 28 days กะ 28 weeks ไว้) เพื่อให้โมเดลสมจริงขึ้น ทางคณะผู้วิจัยได้ทำการใส่ตัวแปร I แทนระดับชั้นของผู้ติดเชื้อซึ่ง อาจตายได้ด้วยอัตรา d หรือ อาจกลายเป็นซอมบี้ได้ด้วยอัตรา r

I = bSZ –rI-dI

ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้ พบว่า การขยายระยะเวลาติดเชื้อ น่าจะเพียงแค่ทำให้ระยะเวลาของการเกิดหายนะซอมบี้ครองเมืองช้าลงเป็นเท่าตัว แต่ในที่สุด ซอมบี้ก็ยังน่าจะเป็นฝ่ายชนะอยู่ดี

ลูบปลากรอบที่ 8:  สภาพการเปลี่ยนแปลงของประชากรมนุษย์และซอมบี้ เมื่อมีการหน่วงเวลา

โมเดล การกักกันโรค

ในกรณีการเกิดการระบาดของซอมบี้ เราอาจพยายามจัดการมันด้วยการกักบริเวณ โดยในกรณีนี้ การพยายามกักบริเวณ จะสามารถดึงกลุ่มคนติดเชื้อ และซอมบี้เข้ามาได้ในระดับหนึ่ง เราสมมุติให้ เมื่อกักกันไปแล้ว พวกที่อยู่ในการกับบริเวณจะไม่สามารถไปแพร่เชื้อให้คนอื่นๆได้ และ ในพื้นที่กักบริเวณ จะมีแต่ ซอมบี้ และผู้ติดเชื้อ ใครก็ตามที่พยายามหลบหนี จะถูกฆ่าทิ้งด้วยอัตราคงที่หนึ่ง แต่คนที่ถูกฆ่าทิ้งแล้ว ก็ยังอาจกลับมาเป็นซอมบี้ได้ การจำลองสถานการณ์ เรายังถือว่า การฆ่าซอมบี้ ทำได้น้อยกว่าการที่โดนซอมบี้ฆ่า (ตามข้อเท็จจริงในหนังซอมบี้) ซึ่ง การกักกันโรคสามารถชะลอการเกิดหายนะได้ แต่ไม่สามารถหยุดยั้งเมื่อมีการติดเชื้อขนาดใหญ่ด้วยเหตุผลข้อจำกัดของโครงสร้างที่ต้องใช้ในการกักบริเวณมนุษย์ติดเชื้อและซอมบี้

โดยส่วนตัว การกักบริเวณที่จะได้ผลก็คงต้องอาศัยภูมิประเทศตามธรรมชาติ ซึ่งนั่นก็คือในพื้นที่กักบริเวณ เช่น เกาะอังกฤษ ก็คงจะติดเชื้อและกินกันเองจนหมด

ลูบปลากรอบที่ 9:  สภาพการเปลี่ยนแปลงของประชากรมนุษย์และซอมบี้ เมื่อมีการพยายามกักบริเวณการติดเชื้อ

โมเดล การรักษา

สมมุติว่าเราสามารถผลิตยารักษา “โรค-ซอมบี้” ให้กลับเป็นมนุษย์ดังเดิมได้ในเวลาอันสั้นเมื่อเกิดวิกฤติซอมบี้ระบาด ซึ่งเราสมมุติให้ เราสามารถรักษา “โรค-ซอมบี้” ได้โดยไม่เกี่ยงว่ามนุษย์คนนั้นเป็นซอมบี้ได้อย่างไร เน่าขนาดไหน (คหสต อาจประมาณว่าไม่งั้นโมเดลจะยุ่งยากเกินเหตุ) และสมมุติให้มนุษย์ที่หายจาก “โรค” แล้วสามารถกลับมาแล้วยังติดเชื้อได้อีก ในกรณีนี้ การวิเคราะห์เชิงสมการ พบว่า กรณีนี้ ไม่จำเป็นที่ S’ จะเป็นศูนย์เมื่อ Z’ ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ มันสามารถเกิด Equilibrium ของการอยู่ร่วมกันระหว่างมนุษย์และซอมบี้ได้ เพียงแค่ว่า การจำลองสถานการณ์ออกมาแล้ว ความน่าจะเป็นคือ มนุษย์ จะเหลือรอดอยู่ในสภาวะสมดุลเพียงเล็กน้อย

ลูบปลากรอบที่ 10:  การเกิดสมดุลระหว่างประชากรมนุษย์และซอมบี้เมื่อมีทางรักษา

มาตรการทำลายซอมบี้ด้วยอาวุธ

สุดท้ายแล้ว สิ่งสำคัญที่สุดที่จะแก้ไขข้อแตกต่างของซอมบี้กับมนุษย์ได้ ก็คงมีเพียงการเปลี่ยนสัดส่วนแพ้ชนะของมนุษย์กับซอมบี้ให้รวดเร็วเพียงพอ โดยใช้กำลังอย่างเด็ดขาด อย่างในกรณีของการ Simulation ที่ผ่านมา การหน่วงเวลาด้วยการกักกันไม่น่าจะได้ผล การรักษาน่าจะทำได้แค่การเหลือรอดของประชากรในพื้นที่เพียงเล็กน้อย เพราะการตายของมนุษย์เป็นการเพิ่มจำนวนศพที่สามารถฟื้นขึ้นมาเป็นซอมบี้ได้ นั่นคือถ้าส่งแต่ตำรวจเข้าไปจัดการแบบกรณีการจัดการกับฝูงชน คงจะได้ศพตำรวจมาเป็นซอมบี้เพิ่มขึ้น การจัดการจำเป็นต้องจัดให้เหมือนการโจมตีทางทหารที่รุนแรง และต่อเนื่อง ในกรณีของซอมบี้ระบาด เราอาจประเมินสัดส่วนจำนวนการทำลายซอมบี้ต่อครั้งการโจมตีเพื่อประเมินความรุนแรงที่ต้องใช้ได้ ซึ่งอย่างกรณีของสถานการณ์จำลอง ที่เราให้ a = 0.0075, b = 0.0055, g = 0.09 และ d = 0.0001. เราต้องใส่สมการเพิ่มขึ้น DZ = -knZ ที่ k เป็นอัตราการฆ่า ต่อระลอกครั้ง n ในการโจมตี ซึ่งเราจะสามารถทำลายซอมบี้หมดได้ในอัตราการทำลายที่ 0.25 และสามารถกำจัดซอมบี้ได้ทั้งหมดภายใน 10 วัน เป็นต้น

โดยสรุปส่วนตัวของผู้แกะบทความ

บทความนี้ เป็นแค่ส่วนหนึ่งของความเป็นไปได้ของรูปแบบซอมบี้ค่อนข้างมาตรฐาน และยังไม่ครอบคลุมถึงข้อจำกัดทางภูมิศาสตร์ รวมไปถึงการที่สัตว์จะเป็นพาหะติดเชื้อซอมบี้ แต่ก็นั่นละ ก็มันยังไม่เคยมีซอมบี้ครองเมืองจริงๆ (แม้เวลาเราดูการถ่ายทอดรัฐสปาเราจะเห็นตัวคล้ายๆซอมบี้ยกมือพรึ่บพรั่บแบบไร้สมองตามตูดหัวหน้ามันอย่างเดียวก็ตาม) ดังนั้นมันจะทำให้ละเอียดไปกว่านี้หรือจำลองมากไปกว่านี้ ผมว่าคนทำวิจัย ทำไปก็ไม่ได้โนเบล ก็ให้มันโผล่มาก่อนก็แล้วกันว่าซอมบี้จริงๆจะออกมาอย่างไร ถ้ามันออกมาอย่างภาพปลากรอบข้างล่างนี้ เราก็คงไม่ต้องใช้มาตรการภาครัฐแต่ใช้มาตรการภาครักแทนก็คงได้ละมั๊ง นะครับนะ ^^