บทความสาระชวนปวดหัว: การสร้างสมการสำหรับงานวิศวกรรม

ผมเองเขียนบทความเรื่องราวต่างๆรอบตัวมากมาย แต่ไอ้เริ่องทางวิศวกรรมที่ต้องใช้นี่ไม่เขียนเอาเลย ไอ้บทความตรงนี้ ที่ต้องเขียนก็มีที่มาจากวิดสิวะเกรียนรุ่นหลังๆไม่เข้าใจความหมายของสมการ และคอยแต่จะต้องลอกเอาสมการนู้นนี้นั้นมาใช้จากตำรา ไม่ก็ต้องไล่เปิดตารางหาค่า ถพ. ค่า ความหนืด ค่าสัมประสิทธิ์สารพัดต่างๆ ไปจนอ่านกราฟจากตำรามาใช้ พอสภาวะของระบบเปลี่ยนทีก็ต้องมานั่งเปิดตำราคำนวณใหม่กันที ซึ่งมันเป็นเรื่องเสียเวลา ไหนๆจะต้องเขียนตำราแล้ว ก็เขียนมันเป็นบทความไปด้วยให้มันรู้แล้วรู้รอดไป เพราะชักจะเบื่อกับบทความทางการเมียในบล็อกของตัวเองอยู่ไม่น้อยเหมือนกัน  บทความนี้ เขียนด้วยภาษาต่างดาว คุณไม่ควรอ่าน ถ้าคุณไม่อยากพบกับสาระชวนปวดหัว แต่ถ้าคุณเป็นวิดสิวะเกรียน...ถึงคุณไม่อ่าน คุณก็ได้ผ่านไอ้ที่ผมเขียนไว้ไปหมดแล้วในชั้นเรียน แค่คุณลืมมันเท่านั้นเอง

สูตร หรือ สมการคืออะไร

สูตร หรือสมการ ในทางวิทยาศาสตร์ มันคือคำอธิบายพฤติกรรมที่เกิดขึ้นทางเคมี ฟิสิกส์ หรือชีววิทยาด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ในทางวิศวกรรม เกือบร้อยทั้งร้อยจะวนอยู่กับการสร้างความสัมพันธ์จากสิ่งที่ตรวจวัดมาได้ ให้เข้ากับสูตรพื้นฐาน เพื่อจะเอามาใช้งานง่ายๆ โดยเฉพาะในกรณีที่โลกเรามันไม่ได้เป็นอุดมคติอย่างที่เราเรียนในชั่วโมงฟิสิกส์ ม. ปลาย

เราอาจเคยเรียนมาว่า สมการก๊าซอุดมคติ PV = RT ความสัมพันธ์ของ ปริมาตรจำเพาะ – แรงดัน – อุณหภูมิ ในโลกความเป็นจริงมันไม่ตรงๆแบบ PV = RT เพราะก๊าซจริงๆไม่ได้มีเฉพาะแรงแวนเดอวาลล์ แต่ครั้นจะไปหาความสัมพันธ์ให้มันละเอียดคำนวณยากๆ ใส่แรงต่างไปให้ครบ สมการก็ยาวเกินจะใช้งาน ดังนั้น เราก็ทำการสร้างสมการความสัมพันธ์ขึ้นมา เพื่ออธิบายระบบจำเพาะของก๊าซเป็นชนิดๆ เท่าที่จำเป็นต้องใช้ไป เช่นสมการ Redlich-Kwong ก็เป็นลักษณะสมการที่สร้างมาเพื่อแสดงความสัมพันธ์ f(P,V,T) ในลักษณะ โพลีโนเมียล

การสร้างสมการด้วย MS-Solver

 ในการสร้างสมการ ยุคปัจจุบัน MS-Excel เวลาพล็อตกราฟ 2 ตัวแปรจะมีฟังก์ชั่นการสร้างความสัมพันธ์ และแสดงสมการให้ (รุ่นอาจารย์ของผมแกต้องเขียนโปรแกรมเพื่อทำ trial and error สร้างสมการสักตัวหนึ่ง ยุคเทคโนโลยีนี่มันดีจริงๆ) แต่มันก็จำกัดแค่สมการ Polynomial สมการ Logarithmic และ สมการ Exponential รูปแบบโดดๆ ซึ่งมันก็อาจไม่ดีเท่าไรนัก โดยเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ที่ให้จะมีแค่ถึงทศนิยมลำดับที่ 4 ซึ่งอาจไม่ละเอียดพอเมื่อเอามาพล็อตใช้ แต่ Excel มีเครื่องมือที่ใช้สร้างสมการอย่างทรงประสิทธิภาพสูงกว่า โดยการใช้ MS-Solver ซึ่งเป็นเครื่องมือการทำ Numerical Analysis ทำ Trial and error หาตัวแปรในสมการ เราสามารถติดตั้ง MS-Solver ได้ โดยไปที่ ส่วนเมนูของ Excel กดเครื่องหมาย Office (ตัว icon กลมๆ ที่คุณกดเข้าไปเพื่อดูไฟล์เก่าๆว่าเปิดอะไรไว้บ้างนั่นแหละ) ไปที่ Excel Options แล้วไปที่ Add-Ins คุณจะหา MS-Solver เจอในนั้น กดติดตั้งมันซะ แล้วมาดูต่อกัน

การตั้งโจทย์

Solver ทำงานโดยการสุ่มเปลี่ยนค่าตัวแปร (By Changing Cells) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ในเซลล์เป้าหมาย (Target Cell) ออกมาเป็นค่า Max Min หรือ เท่ากับค่าใดๆค่าหนึ่ง โจทย์ จะต้องผูกสูตรความสัมพันธ์จากตัวแปรไปถึงเซลล์เป้าหมาย ในตัวอย่างตารางข้างล่าง หัวคอลัมน์ A คือ อุณหภูมิ หัวคอลัมน์ B คือ ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนของอากาศ หัวคอลัมน์ C คือสมการที่เราจะใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง อุณหภูมิ กับ สัมประสิทธิ์การนำความร้อน โดยผูกสูตรในรูป Y = a + bX

• ·     ค่า a และ b คือสัมประสิทธิ์ของสมการอยู่ในเซลล์ B3 และ B4 ตามลำดับ
• ·     ค่า X คืออุณหภูมิ เอามาจากคอลัมน์ A

ในตัวอย่างรูปที่ 1 เซลล์ C7 ผูกสูตรไว้คือ =$B$3+$B$4*A7 ตัวสัญลักษณ์ $ คือเซลล์นี้จะเป็นเซลล์คงที่ เวลาลากก๊อปปี้ลงไปข้างล่าง ค่า a และ b จะผูกมาจากจุดเดิมคือเซลล์ B3 และ B4

ในเซลล์เป้าหมาย เราใช้ผลรวมของความแตกต่างจากค่าจริง กับค่าสมการ ในตัวอย่าง เราใช้เป็นค่า Absolute ของผลต่าง ของ ค่าจริง และ ค่าจากสมการ บวกรวมกันในเซลล์ D16 ให้สังเกตว่า ใส่ค่าผลต่างอยู่ในรูป Absolute ABS(B7-C7) เป็นต้น เพื่อให้ error ทั้งทางบวกและลบถูกจัดค่าให้น้อยลงในทิศทางเดียวกัน ในบางกรณี เราอาจใช้การยกกำลังสองก็จะได้ผลเหมือนกัน

รูปที่ 1: การผูกสูตรตัวแปร ไปยัง Target cell

เมื่อเราตั้งค่าใน Solver เสร็จสิ้น แล้วกด Solve เราจะได้ผลดัง รูปที่ 2 Solver จะสุ่มหาค่าสัมประสิทธิ์ a และ b ให้

รูปที่ 2 ผลลัพธ์การ fit สมการจาก Solver

ในกรณีของ Air Thermal Conductivity ตามรูปที่ 3 เราจะเห็นว่า ค่าจริงจะมีความโค้งเล็กน้อย เราอาจปรับใช้สมการเป็น Y=a+bX+cX² ก็ได้ ซึ่งก็เพียงแค่จัดการผูกสูตรใหม่ เพิ่มเซลล์ขึ้นสำหรับค่าตัวแปร c นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้สมการรูปแบบอื่นๆ ไม่ต้องจำกัดแค่สมการ polynomial

รูปที่ 3 เทียบค่าจริงจากตาราง และ สมการความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นมา

การเลือกใช้สมการ

การดัดโค้งเส้นสมการให้เข้ากับข้อมูลเป็นศิลปะ สมการที่ดีควรมีตัวแปรที่น้อยและเรียบง่ายที่สุด ทำ integration และ differentiation ง่าย อย่างค่าความจุความร้อน หรือ C_p ค่า C_p จริงๆไม่ใช่ค่าคงที่ มันแปรผันตามอุณหภูมิ  และเวลาเราคำนวณหาพลังงานจาก C_p ที่เราเขียนง่ายๆว่า DQ = m.C_p.DT ในช่วงอุณหภูมิแคบๆ สมการนี้ก็แค่พอใช้ได้ แต่พอป็นกรณีของหออบ หรือเตาเผา ที่การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิอยู่ในช่วงหลายร้อยหลายพันองศา error จากการประมาณให้ค่า C_p คงที่จะมีความผิดพลาดมาก และเราต้องใช้ dQ = m.C_p.dT แทน การหาค่าสมการ C_p ออกมาเป็น สมการ เช่น กรณีของอากาศ เราสามารถ integrate C_pdT ได้ดังตัวอย่าง

ถ้าเราดูตาราง C_p ของอากาศ จากช่วง 0 องศา ไปถึง 1000 องศา C_p จะเปลี่ยนจาก 1.00 kJ/kg.^oC ไปเป็น 1.17 kJ/kg.^oC ถ้าเรารู้พลังงานกับอุณหภูมิเริ่มต้น เรายังไม่รู้ค่าอุณหภูมิสุดท้าย เราอาจใช้ C_p เป็นค่าสมมุติจากอุณหภูมิแรก ซึ่งมันก็จะมี error ได้ในหลัก 10% ถ้าเราไม่ทำการคำนวณซ้ำ และถึงเราจะประเมินค่า C_p โดยใช้ค่าเฉลี่ยระหว่าง 2 อุณหภูมิ เราก็จะยังจบลงด้วยการคำนวณซ้ำไปซ้ำมาหลายรอบและเราก็ยังจะเจอ error เพราะ ค่าความจุความร้อนนี้ไม่ได้เป็นเส้นตรงกับอุณหภูมิ

การสร้างสมการตามลักษณะความโค้งของกราฟ

การสร้างสมการ เรารู้ว่าสมการ polynomial ยิ่งใส่ polynomial order สูงเท่าไรมันยิ่งจะดัดให้เข้ากับค่าจริงจากการตรวจวัด แต่ยิ่งสมการยาวเหยียด การทำ integration หรือ differentiation จะยุ่งยาก เราควรเลือกใช้องค์ประกอบของสมการให้เหมาะสม ข้างล่าง เป็นตัวอย่างกราฟจากสมการรูปแบบต่างๆ ซึ่งเราสามารถเลือกใช้ได้ โดยให้เราพลอตกราฟข้อมูลระหว่างข้อมูลก่อน แล้วเลือกกราฟที่มีลักษณะใกล้เคียงกับข้อมูลของเรา

รูปที่ 4 ลักษณะของกราฟสมการความสัมพันธ์แบบต่างๆ

ข้อควรระวังในการเลือกใช้สมการ

เมื่อเราจะเลือกใช้สมการความสัมพันธ์ อย่าลืมทบทวนความสัมพันธ์พื้นฐานทางฟิสิกส์ สมการการไหล ความดัน แปรผันกับ ความเร็วกำลังสอง ตามสมการพื้นฐานของเบอร์นูลี และ ถ้าเราจะสร้างสมการขึ้นมาแสดงความดันเฮดของปั๊มกับอัตราการไหลก็ควรจะรักษาพจน์ความสัมพันธ์นี้ไว้ หรือตัวอย่างข้างล่าง ถ้าเราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง ความถ่วงจำเพาะของอากาศกับอุณหภูมิ เราอาจใช้สมการ Exponential ประกอบกับ Polynomial 1^st order ในการแสดงความสัมพันธ์ 

รูปที่ 5 ความสอดคล้องของสมการที่สร้างมาแสดงความสัมพันธ์ ความถ่วงจำเพาะ กับอุณหภูมิของอากาศ

แต่ถ้าเราฉุกคิดสักนิด ความถ่วงจำเพาะคือส่วนกลับของปริมาตรจำเพาะ และสมการก๊าซ บ่งชี้ว่า PV = RT ถ้าเราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่าง ถ.พ. กับ อุณหภูมิ เราสร้างความสัมพันธ์ของปริมาตรจำเพาะกับอุณหภูมิ แล้วแปลงปริมาตรจำเพาะเป็นความถ่วงจำเพาะ เราจะสร้างสมการใช้งานได้ง่ายกว่า และถูกต้องกว่ามาก

รูปที่  6 ความสอดคล้องของสมการที่สร้างมาแสดงความสัมพันธ์ ปริมาตรจำเพาะ กับอุณหภูมิของอากาศ